Пример 2. Решить неравенство
Нахождение ОДЗ неравенства есть трудная задача, поэтому перейдем к равносильной ему системе неравенств.
Третье неравенство имеет решение . Первое и второе неравенство справедливо лишь для x из промежутка
. Поэтому этот промежуток является множеством решений системы.
Ответ: .
Использование монотонности функций при решении уравнений и неравенств. Это свойство при решении уравнений и неравенств используется чаще всего. Решение уравнений и неравенств с применением монотонности функций основывается на следующих утверждениях:
2.1Пусть f(x) – непрерывная и строго монотонная функция на некотором промежутке. Тогда уравнение вида f(x)=c, где с – данная константа, может иметь не более одного решения на этом промежутке.
2.2.Пусть f(x) и φ(x) непрерывные на некотором промежутке функции. Тогда если f(x) монотонно возрастает, а φ(x) убывает, то уравнение f(x)=φ(x) имеет не более одного решения на этом промежутке.
2.3.Пусть функция f(x) возрастает на своей области определения. Тогда для решения неравенства f(x)>c достаточно решить уравнение f(x)=c. Если x0 – корень, то решениями неравенства будут значения , принадлежащие области определения f(x).
Рассмотрим на примерах, как используются эти утверждения.
Пример 3. Решить неравенство . Существует стандартный прием решения: возведение в квадрат (при условии
0). Мы рассмотрим решение данного неравенства с использованием свойства монотонности. Функция, расположенная в левой части неравенства, монотонно возрастает, в правой части - убывает. Из этого следует, что уравнение
имеет не более одного решения, причем если x0 – решение этого уравнения, то при
будет
, а решением данного неравенства будет
. Значение
легко подбирается:
.
Ответ: .
Пример 4. Решить уравнение
Данное уравнение имеет очевидное решение . Докажем, что других решений нет. Поделим обе части на
, получим
. Левая часть представляет собой монотонно убывающую функцию. Правая часть функция постоянная. Следовательно, каждое свое значение она принимает один раз, то есть данное уравнение имеет единственное решение.
Ответ: .
Уравнения вида . При решении уравнений данного вида используются следующие утверждения :
пусть область существования функции есть промежуток M и пусть эта функция непрерывна и строго монотонна на этом промежутке. Тогда уравнение
будет равносильно системе
;
Развивающее обучение по системе Эльконина-Давыдова
В предыдущем параграфе не раз упоминалось о развивающем обучении по системе Эльконина-Давыдова. Рассмотрим основные аспекты инновационной системы обучения этих двух великих учёных.
В начальной школе учат считать, читать и писать. Это обучение нацелено на формирование навыков грамоты. Традиционно ...
Приемы формирования коммуникативных навыков на нетрадиционных уроках
иностранного языка
В последнее время обнаружилась опасная тенденция снижения интереса учащихся к занятиям иностранным языком. Произошло в какой – то степени отчуждение их от познавательного труда. Использование традиционных форм обучения привело к тому, что детям стало скучно учиться, у них нет возможности в процесс ...
Фрагмент урока для 11-го класса по теме «Иррациональные уравнения»
Комментарии к уроку
Тип данного урока - введение нового материала. Его основная цель - ввести понятие иррациональных уравнений и развивать умение применять способы решения иррациональных уравнений. Урок разработан таким образом, что учащиеся, путем исследования, самостоятельно выводят алгоритм ре ...