Использование свойств функций при решении уравнений и неравенств

Страница 3

Пример 2. Решить неравенство

Нахождение ОДЗ неравенства есть трудная задача, поэтому перейдем к равносильной ему системе неравенств.

Третье неравенство имеет решение . Первое и второе неравенство справедливо лишь для x из промежутка . Поэтому этот промежуток является множеством решений системы.

Ответ: .

Использование монотонности функций при решении уравнений и неравенств. Это свойство при решении уравнений и неравенств используется чаще всего. Решение уравнений и неравенств с применением монотонности функций основывается на следующих утверждениях:

2.1Пусть f(x) – непрерывная и строго монотонная функция на некотором промежутке. Тогда уравнение вида f(x)=c, где с – данная константа, может иметь не более одного решения на этом промежутке.

2.2.Пусть f(x) и φ(x) непрерывные на некотором промежутке функции. Тогда если f(x) монотонно возрастает, а φ(x) убывает, то уравнение f(x)=φ(x) имеет не более одного решения на этом промежутке.

2.3.Пусть функция f(x) возрастает на своей области определения. Тогда для решения неравенства f(x)>c достаточно решить уравнение f(x)=c. Если x0 – корень, то решениями неравенства будут значения , принадлежащие области определения f(x).

Рассмотрим на примерах, как используются эти утверждения.

Пример 3. Решить неравенство . Существует стандартный прием решения: возведение в квадрат (при условии 0). Мы рассмотрим решение данного неравенства с использованием свойства монотонности. Функция, расположенная в левой части неравенства, монотонно возрастает, в правой части - убывает. Из этого следует, что уравнение имеет не более одного решения, причем если x0 – решение этого уравнения, то при будет , а решением данного неравенства будет . Значение легко подбирается: .

Ответ: .

Пример 4. Решить уравнение

Данное уравнение имеет очевидное решение . Докажем, что других решений нет. Поделим обе части на , получим . Левая часть представляет собой монотонно убывающую функцию. Правая часть функция постоянная. Следовательно, каждое свое значение она принимает один раз, то есть данное уравнение имеет единственное решение.

Ответ: .

Уравнения вида . При решении уравнений данного вида используются следующие утверждения :

пусть область существования функции есть промежуток M и пусть эта функция непрерывна и строго монотонна на этом промежутке. Тогда уравнение будет равносильно системе ;

Страницы: 1 2 3 4 5 6


Другие статьи:

Письмо Макаренко А.С. по его творчеству
Уважаемый Антон Семенович! Сейчас в 21 веке одной из важнейших задач педагогической науки является объективная оценка нашего прошлого педагогического опыта, одним из самых значительных явлений которого является ваша педагогическая система. Ваши идеи долгое время не признавались официальной педаго ...

Педагогическая теория Коменского. Структура и содержание «Великой дидактики»
Центральным трудом педагогической теории Яна Амоса Коменского по праву считается «Великая дидактика». Задуманная им еще в молодости, она вынашивалась долгие годы, обрастала различными дополнениями и приложениями. Для своего времени она представляла собой поистине революционный учебник педагогичес ...

Педагогические рекомендации по руководству сюжетно-ролевыми играми в работе со старшими дошкольниками
Педагогам необходимо стараться не занимать время отведенное для игры другими видами деятельности. Необходима тщательная подготовка педагога к игре. При планировании игры следует помнить, что у дошкольников желание играть вызывает совместная подготовка с воспитателем интересной игры. В этой совмес ...

Главные разделы

Copyright © 2020 - All Rights Reserved - www.centrstar.ru