Использование свойств функций при решении уравнений и неравенств

Страница 3

Пример 2. Решить неравенство

Нахождение ОДЗ неравенства есть трудная задача, поэтому перейдем к равносильной ему системе неравенств.

Третье неравенство имеет решение . Первое и второе неравенство справедливо лишь для x из промежутка . Поэтому этот промежуток является множеством решений системы.

Ответ: .

Использование монотонности функций при решении уравнений и неравенств. Это свойство при решении уравнений и неравенств используется чаще всего. Решение уравнений и неравенств с применением монотонности функций основывается на следующих утверждениях:

2.1Пусть f(x) – непрерывная и строго монотонная функция на некотором промежутке. Тогда уравнение вида f(x)=c, где с – данная константа, может иметь не более одного решения на этом промежутке.

2.2.Пусть f(x) и φ(x) непрерывные на некотором промежутке функции. Тогда если f(x) монотонно возрастает, а φ(x) убывает, то уравнение f(x)=φ(x) имеет не более одного решения на этом промежутке.

2.3.Пусть функция f(x) возрастает на своей области определения. Тогда для решения неравенства f(x)>c достаточно решить уравнение f(x)=c. Если x0 – корень, то решениями неравенства будут значения , принадлежащие области определения f(x).

Рассмотрим на примерах, как используются эти утверждения.

Пример 3. Решить неравенство . Существует стандартный прием решения: возведение в квадрат (при условии 0). Мы рассмотрим решение данного неравенства с использованием свойства монотонности. Функция, расположенная в левой части неравенства, монотонно возрастает, в правой части - убывает. Из этого следует, что уравнение имеет не более одного решения, причем если x0 – решение этого уравнения, то при будет , а решением данного неравенства будет . Значение легко подбирается: .

Ответ: .

Пример 4. Решить уравнение

Данное уравнение имеет очевидное решение . Докажем, что других решений нет. Поделим обе части на , получим . Левая часть представляет собой монотонно убывающую функцию. Правая часть функция постоянная. Следовательно, каждое свое значение она принимает один раз, то есть данное уравнение имеет единственное решение.

Ответ: .

Уравнения вида . При решении уравнений данного вида используются следующие утверждения :

пусть область существования функции есть промежуток M и пусть эта функция непрерывна и строго монотонна на этом промежутке. Тогда уравнение будет равносильно системе ;

Страницы: 1 2 3 4 5 6


Другие статьи:

Роль семьи в воспитании ребенка
Всестороннее воспитание ребенка, подготовка его к жизни в обществе – главная социальная задача, решаемая обществом и семьей. Семья – это коллектив, члены которого взаимосвязаны определенными обязанностями. Семья – это малая социальная группа, связанная брачными или родственными связями. У семьи ...

Гипотеза исследования
«Патриотическое воспитание направлено на формирование и развитие личности, обладающей качествами гражданина – патриота Родины и способной успешно выполнять гражданские обязанности в мирное и военное время. Система патриотического воспитания предусматривает формирование и развитие социально значимы ...

Концептуальные идеи здоровьесберегающих технологий
Задача здоровьесберегающей педагогики в рамках образовательного процесса - обеспечить выпускнику школы высокий уровень здоровья, сформировать культуру здоровья, тогда аттестат о среднем образовании будет действительной путёвкой в счастливую самостоятельную жизнь, свидетельством умения молодого чел ...

Главные разделы

Copyright © 2022 - All Rights Reserved - www.centrstar.ru