Использование свойств функций при решении уравнений и неравенств

Страница 4

если множество M совпадает с R, то уравнения и равносильны;

В школе чаще пользуются не этой теоремой, а ее следствиями:

уравнение равносильно системе (При условии, что );

для любого натурального числа 2m уравнение равносильно системе .

Заметим, что в этих двух системах любое из неравенств можно опустить.

Пример 5. Решить уравнение

Данное уравнение равносильно системе . Уравнение имеет два корня . Неравенству удовлетворяет только первый корень. Следовательно система, а, значит, и равносильное ей уравнение имеют единственное решение.

Ответ: .

Использование понятия области изменения функции. При изучении уравнений в школе обращается внимание учащихся на нахождении области допустимых значений неизвестного. Однако в стороне остаются такие вопросы: если область допустимых значений неизвестного непустое множество, то всегда ли существует решение, какие необходимые условия его существования? Если существует решение, то нельзя ли сузить границы корней?

Дать ответы на эти вопросы можно, если использовать понятие области изменения функции (или область значений).

Пусть дано уравнение f(x)=,где f(x) и - элементарные функции, определенные на множествах X1 и X2. Тогда областью допустимых значений x для уравнения будет множество, состоящее из тех значений x, которые принадлежат обоим множествам, то есть A= X1∩X2. Если множество A пустое (A=), то уравнение решений не имеет. Поэтому рассмотрим случай, когда A≠.

Обозначим области изменения этих функций соответственно через Y1 и Y2. Если x1 является решением уравнения, то будет выполняться числовое равенство f(x1)=, где f(x1) – значение функции f(x) при x=x1, а значение функции при x=x1.

Значит, если уравнение имеет решение, то области значений функции f(x) и имеют общие элементы (Y1∩Y2≠). Если же таких общих элементов множества Y1 и Y2 не содержат, то уравнение решений не имеет. Из того, что Y1∩Y2≠, еще не следует существование решения, ибо это есть только необходимое, а не достаточное условие. Эти рассуждения полезно подкрепить графиками.

Пусть дано неравенство f(x)≤,где f(x) и - элементарные функции, определенные на множествах X1 и X2, причем X1∩X2≠. Обозначим области изменения этих функций соответственно через Y1 и Y2. Если промежуток является решением неравенства, то для любого x из этого промежутка будет выполняться числовое неравенство f(a)≤, где f(a) – значение функции f(x) при x=a, а значение функции при x=a. Значит, если неравенство имеет решение, то области значений функции f(x) и имеют общие элементы (Y1∩Y2≠). Если же таких общих элементов множества Y1 и Y2 не содержат, то уравнение решений не имеет.

Страницы: 1 2 3 4 5 6


Другие статьи:

Общая направленность личности
В общепсихологических теориях личности направленность выступает как качество, определяющее ее психологический склад. Под направленностью личности понимается психологическое свойство личности, представляющее собой систему взаимосвязанных внутренних ценностей и побуждений человека. Направленность по ...

Фрагмент урока для 8-го класса по теме «Четырехугольники»
Комментарии к уроку Тип данного урока относится к уроку закрепления и систематизации знаний. Его основная цель – выявить экспериментальным способом свойства четырехугольников. В данном фрагменте представлен необычный способ систематизации знаний – практический эксперимент. Учащиеся самостоятельн ...

Иноязычное произношение и его разновидности
Важность владения фонетическими средствами языка объясняется прежде всего тем, что звуковой язык всегда был и остается единственным языком человеческого общества. Следовательно, любые оттенки мысли передаются и воспринимаются через звуковую оболочку языка. Владение фонетической системой языка важн ...

Главные разделы

Copyright © 2021 - All Rights Reserved - www.centrstar.ru