если множество M совпадает с R, то уравнения и
равносильны;
В школе чаще пользуются не этой теоремой, а ее следствиями:
уравнение равносильно системе
(При условии, что
);
для любого натурального числа 2m уравнение равносильно системе
.
Заметим, что в этих двух системах любое из неравенств можно опустить.
Пример 5. Решить уравнение
Данное уравнение равносильно системе . Уравнение имеет два корня
. Неравенству удовлетворяет только первый корень. Следовательно система, а, значит, и равносильное ей уравнение имеют единственное решение.
Ответ: .
Использование понятия области изменения функции. При изучении уравнений в школе обращается внимание учащихся на нахождении области допустимых значений неизвестного. Однако в стороне остаются такие вопросы: если область допустимых значений неизвестного непустое множество, то всегда ли существует решение, какие необходимые условия его существования? Если существует решение, то нельзя ли сузить границы корней?
Дать ответы на эти вопросы можно, если использовать понятие области изменения функции (или область значений).
Пусть дано уравнение f(x)=,где f(x) и
- элементарные функции, определенные на множествах X1 и X2. Тогда областью допустимых значений x для уравнения будет множество, состоящее из тех значений x, которые принадлежат обоим множествам, то есть A= X1∩X2. Если множество A пустое (A=
), то уравнение решений не имеет. Поэтому рассмотрим случай, когда A≠
.
Обозначим области изменения этих функций соответственно через Y1 и Y2. Если x1 является решением уравнения, то будет выполняться числовое равенство f(x1)=, где f(x1) – значение функции f(x) при x=x1, а
значение функции
при x=x1.
Значит, если уравнение имеет решение, то области значений функции f(x) и имеют общие элементы (Y1∩Y2≠
). Если же таких общих элементов множества Y1 и Y2 не содержат, то уравнение решений не имеет. Из того, что Y1∩Y2≠
, еще не следует существование решения, ибо это есть только необходимое, а не достаточное условие. Эти рассуждения полезно подкрепить графиками.
Пусть дано неравенство f(x)≤,где f(x) и
- элементарные функции, определенные на множествах X1 и X2, причем X1∩X2≠
. Обозначим области изменения этих функций соответственно через Y1 и Y2. Если промежуток
является решением неравенства, то для любого x из этого промежутка будет выполняться числовое неравенство f(a)≤
, где f(a) – значение функции f(x) при x=a, а
значение функции
при x=a. Значит, если неравенство имеет решение, то области значений функции f(x) и
имеют общие элементы (Y1∩Y2≠
). Если же таких общих элементов множества Y1 и Y2 не содержат, то уравнение решений не имеет.
Методика обучения решению сюжетных задач в курсематематики
Сюжетной задачей называют такую задачу, в которой данные и связь между ними включены в фабулу. Содержание сюжетной задачи чаще всего представляет некоторую ситуацию, более или менее близкую к жизни. Эти задачи важны главным образом для усвоения учащимися математических отношений, для овладения эфф ...
Употребление, каких терминов сегодня нецелесообразно в условиях современной
гуманистической парадигмы специальной педагогики
Реформаторы пренебрегли как нормами научной этики, так и известными в науке способами упорядочения или обновления научной терминологии (опрос ведущих ученых страны по данной отрасли науки с целью выработки ими обоснования необходимости обновления понятийного аппарата; выработка рабочего определени ...
Система средств, способствующих патриотическому воспитанию
Средствами воспитания называют все те приёмы, которые ведут к конечной цели, поставленной педагогом перед собой – воспитать в ребёнке те или иные качества.
Средства подбирают для определённой педагогической задачи, причём средством может стать абсолютно любой предмет, если наделить его символичес ...