Использование свойств функций при решении уравнений и неравенств

Анализ ЕГЭ (текстов и результатов)

Единый государственный экзамен как форма аттестации, которая введена в практику российского образования в 2002 году, с 2009 года переходит из экспериментального в штатный режим.

Анализ текстов ЕГЭ показал, что задания, при решении которых используются свойства функций встречаются каждый год.

В 2003 году в заданиях А9 и С2 при решении можно применить свойства функций:

А9. Укажите промежуток, которому принадлежат корни уравнения . (выполнили верно 64,1% учащихся).

С2. Найдите все значения p, при которых уравнение не имеет корней. (104 учащихся получили 4 балла, 36 – 3балла, 56 – 2балла, 261 – 1балл, не справились с заданием 13696 учащихся) [33].

В 2004 году – задание В2. Сколько корней имеет уравнение . (выполнили верно менее 40% учащихся) [34].

В 2005 году задание С2 (решите уравнение ) выполнили 37% учащихся [42].

В 2007 при выполнении задания "Решите уравнение" в части В выпускники при решении уравнения рассматривали два случая, привычно раскрывая знак модуля. Хотя внимательный анализ условия задания показывает, что на промежутке , на котором следует искать корни уравнения, выражение принимает только положительные значения.

Анализ ответов участников экзамена показывает, что даже хорошо подготовленные учащиеся часто выполняют задания, используя "шаблонные" методы решения, которые приводят к громоздким преобразованиям и вычислениям.

Очевидно, что при выполнении приведенных выше заданий хорошо подготовленный выпускник должен был показать не только знание известных методов решения уравнений или преобразования выражений, но и умение проанализировать условие, соотнести данные и требования задания, вывести из условия различные следствия и т.п., то есть показать определенный уровень развития математического мышления.

Таким образом, при обучении хорошо успевающих учащихся нужно не только позаботиться об усвоении базовой составляющей курса алгебры и начал анализа, (усвоение изученных правил, формул, методов), но и о реализации одной из главных целей обучения математике – развитию мышления учащихся, в частности, математического мышления. Для реализации поставленной цели могут служить элективные курсы.

Применение свойств функций при решении уравнений и неравенств

Использование области определения функции. Если при рассмотрении уравнения (неравенства) выясняется, что обе его части определены на множестве M, состоящем из одного или нескольких чисел, то нет необходимости проводить какие-либо преобразования уравнения или неравенства. Достаточно проверить, является или нет каждое из этих чисел решением данного уравнения (неравенства).

Если множество M, на котором определены обе части уравнения (неравенства), окажется пустым множеством, то в этом случае уравнение (неравенство) решений не имеет.

Пример 1. Решить уравнение

ОДЗ этого уравнения состоит из всех x, одновременно удовлетворяющих условиям . Это значит, что ОДЗ есть пустое множество. Этим решение уравнения и завершается, т. к. установлено, то ни одно число не может являться решением, т.е. уравнение не имеет корней.

Ответ: решений нет.

При решении неравенств иногда можно не находить ОДЗ, а решать неравенство переходом к равносильной ему системе неравенств, в которой либо одно из неравенств не имеет решений, либо знание его решения помогает решить систему неравенств.

Главные разделы

• Главная
• Методы обучения двигательным действиям
• Раннее обучение английскому языку
• Педагогика способностей
• Половое воспитание детей и подростков
• Я-концепция ребенка дошкольного возраста
• Коррекция гиперактивных детей
• Информация о педагогике