Использование свойств функций при решении уравнений и неравенств

Страница 5

Пример 7. Решить уравнение .

ОДЗ – множество действительных чисел. Область изменения функции f(x)= ‑ множество Y1=, область изменения функции = ‑ множество Y2=. Тогда Y1∩Y2=={2}. Следовательно, если уравнение имеет решения, то ими могут быть только те значения x, при которых обе функции одновременно принимают значение, равное 2. Функция принимает это значение только один раз, при x=0. Нетрудно убедиться, что f(0)=2.

Ответ: x=0.

Использование свойств четности или нечетности и периодичности функций. Знания учащихся о свойствах четных и нечетных функций, о периодических функциях становятся более глубокими и осознанными, если систематически использовать эти свойства при решении уравнений и неравенств. Кроме того, применение свойств четности или нечетности, периодичности функций способствует рационализации самих решений.

Пусть имеем уравнение или неравенство F(x)=0, F(x)>0 (F(x)<0), где F(x) – четная или нечетная функция. Область определения такой функции симметрична относительно нуля (необходимое условие).

Для любых двух симметричных значений аргумента из области определения четная функция принимает равные числовые значения, а нечетная – равные по абсолютной величине, но противоположного знака значения.

Выводы:

Чтобы решить уравнение F(x)=0, где F(x) – четная или нечетная функция, достаточно найти положительные (или отрицательные) корни, после чего записать отрицательные (или положительные) корни, симметричные полученным. Для нечетной функции корнем будет x=0, если это значение входит в область определения F(x). Для четной функции значение x=0 проверяется непосредственной подстановкой в уравнение.

Чтобы решить неравенство F(x)>0 (F(x)<0), где F(x) – четная функция, достаточно найти решения для x≥0 (или x≤0). Действительно, если решением данного неравенства является промежуток (x1, x2), где x1, x2 – числа одного знака или одно из них равно нулю, то его решением будет и промежуток ( ‑ x2, ‑ x1).

Чтобы решить неравенство F(x)>0 (F(x)<0), F(x) – нечетная функция, достаточно найти его решения для x>0 (или x<0). Действительно, функция F(x) для любого x≥0 (x≤0) из области ее определения может находиться с нулем в одном из трех отношений: «равно», «больше», «меньше». Следовательно, если нам известно, при каких значениях x F(x)≥0 (F(x)≤0), то нам будет известно, при каких значениях x F(x)>0 (F(x)<0) (оставшиеся значения x из области определения). Но если нам известны промежутки знакопостоянства функции F(x) для x>0 (или x<0), то легко записать промежутки знакопостоянства и для x<0 (x>0).

Если функция F(x) – периодическая, то решение уравнения F(x)=0 или неравенства F(x)>0 (F(x)<0) достаточно найти на промежутке, равном по длине периоду функции, после чего записать общее решение. Если периодическая функция еще и четная или нечетная, то решение достаточно найти на промежутке, равном по длине половине периода.

Выводы по параграфу: анализ методической и математической литературы показал, что метод решения уравнений и неравенств с использованием свойств функций используется в школьном курсе математики редко, а в заданиях ЕГЭ и на вступительных экзаменах почти каждый год предлагаются уравнения и неравенства, решение которых упрощается, если применить свойства функций.

Страницы: 1 2 3 4 5 6


Другие статьи:

Становление и развитие этнопедагогики
Наиболее ранними считаются письменные обобщения традиционного педагогического знания вообще и этнопедагогического в частности, приведенные в древних письменных памятниках: "Законах царя Вавилонии Хаммурапи" (1792-- 1750 гг. до н.э.), "Законах Ассирии" (вторая половина II тыс. до ...

Урок как основная форма учебно-воспитательного процесса
Сущность учебно-воспитательного процесса выражается в органическом соединении задач, средств и методов обучения и воспитания в рамках единой формы их организации. Такое соединение обеспечивает комплексность и усиление взаимовлияния обучающих и воспитывающих воздействий на формирование личности учащ ...

Проблемы профильного обучения
Выбор уровня обучения диктует выбор объема изучаемого материала, количество решаемых задач, распределение форм учебной работы. В практике последних лет, как было изложено ранее, спонтанно сложилось представление о трех основных уровнях изучения математики - основном, или стандартном, и двух других, ...

Главные разделы

Copyright © 2019 - All Rights Reserved - www.centrstar.ru