Использование свойств функций при решении уравнений и неравенств

Страница 5

Пример 7. Решить уравнение .

ОДЗ – множество действительных чисел. Область изменения функции f(x)= ‑ множество Y1=, область изменения функции = ‑ множество Y2=. Тогда Y1∩Y2=={2}. Следовательно, если уравнение имеет решения, то ими могут быть только те значения x, при которых обе функции одновременно принимают значение, равное 2. Функция принимает это значение только один раз, при x=0. Нетрудно убедиться, что f(0)=2.

Ответ: x=0.

Использование свойств четности или нечетности и периодичности функций. Знания учащихся о свойствах четных и нечетных функций, о периодических функциях становятся более глубокими и осознанными, если систематически использовать эти свойства при решении уравнений и неравенств. Кроме того, применение свойств четности или нечетности, периодичности функций способствует рационализации самих решений.

Пусть имеем уравнение или неравенство F(x)=0, F(x)>0 (F(x)<0), где F(x) – четная или нечетная функция. Область определения такой функции симметрична относительно нуля (необходимое условие).

Для любых двух симметричных значений аргумента из области определения четная функция принимает равные числовые значения, а нечетная – равные по абсолютной величине, но противоположного знака значения.

Выводы:

Чтобы решить уравнение F(x)=0, где F(x) – четная или нечетная функция, достаточно найти положительные (или отрицательные) корни, после чего записать отрицательные (или положительные) корни, симметричные полученным. Для нечетной функции корнем будет x=0, если это значение входит в область определения F(x). Для четной функции значение x=0 проверяется непосредственной подстановкой в уравнение.

Чтобы решить неравенство F(x)>0 (F(x)<0), где F(x) – четная функция, достаточно найти решения для x≥0 (или x≤0). Действительно, если решением данного неравенства является промежуток (x1, x2), где x1, x2 – числа одного знака или одно из них равно нулю, то его решением будет и промежуток ( ‑ x2, ‑ x1).

Чтобы решить неравенство F(x)>0 (F(x)<0), F(x) – нечетная функция, достаточно найти его решения для x>0 (или x<0). Действительно, функция F(x) для любого x≥0 (x≤0) из области ее определения может находиться с нулем в одном из трех отношений: «равно», «больше», «меньше». Следовательно, если нам известно, при каких значениях x F(x)≥0 (F(x)≤0), то нам будет известно, при каких значениях x F(x)>0 (F(x)<0) (оставшиеся значения x из области определения). Но если нам известны промежутки знакопостоянства функции F(x) для x>0 (или x<0), то легко записать промежутки знакопостоянства и для x<0 (x>0).

Если функция F(x) – периодическая, то решение уравнения F(x)=0 или неравенства F(x)>0 (F(x)<0) достаточно найти на промежутке, равном по длине периоду функции, после чего записать общее решение. Если периодическая функция еще и четная или нечетная, то решение достаточно найти на промежутке, равном по длине половине периода.

Выводы по параграфу: анализ методической и математической литературы показал, что метод решения уравнений и неравенств с использованием свойств функций используется в школьном курсе математики редко, а в заданиях ЕГЭ и на вступительных экзаменах почти каждый год предлагаются уравнения и неравенства, решение которых упрощается, если применить свойства функций.

Страницы: 1 2 3 4 5 6


Другие статьи:

Предпочитаемые профили обучения
Как правило, в учебно-методический комплект, обеспечивающий работу по любой из новых программ, входит методическое пособие для учителя, в котором приводится примерное тематическое планирование, требования к контролю знаний учеников, проведению практических занятий и т.д. И это можно только приве ...

Конспекты уроков по развитию представлений о музыкальной жизни Челябинского Урала в новейшее время у школьников
Конспект учебного занятия по музыке в третьем классе по теме «Разнообразие русского музыкального фольклора» Сколько песен у России – никому не сосчитать! Цель учебного занятия – знакомство учащихся с разнообразием русского музыкального фольклора. Задачи учебного занятия: · воспитание у детей ...

Речь. Характеристика речевого развития детей старшего дошкольного возраста
Проблеме развития речи посвящены работы таких исследователей, как М.С. Соловейчик, А.А. Леонтьев, Львов М.Р., Т.А. Ладыженская, Жинкин Н.И., С.Л. Рубинштейн и др. С.Л. Рубинштейн говорит о том, что речь — это деятельность общения — выражения, воздействия, сообщения — посредством языка, речь — это ...

Главные разделы

Copyright © 2022 - All Rights Reserved - www.centrstar.ru