Цели: раскрыть понятие "логарифмическое уравнение"; ознакомить учащихся с основными приёмами и методами решения уравнений этого вида; обеспечить овладение всеми учащимися основными алгоритмическими приёмами решения логарифмических уравнений.
Урок 1 "Решение логарифмических уравнений".
Тему лучше изложить лекционно. Содержание лекции может быть следующим:
Простейшим логарифмическим уравнением (то есть уравнением, содержащим неизвестное под знаком логарифма) является , где
,
.
Логарифмическая функция возрастает (или убывает) на промежутке и принимает на этом промежутке все действительные значения. По теореме о корне: пусть функция
возрастает (или убывает) на промежутке
, число
- любое из значений, принимаемых
на этом промежутке. Тогда уравнение
имеет единственный корень в промежутке
. Отсюда следует, что для любого
данное уравнение имеет и притом только одно решение. Из определения логарифма числа сразу следует, что
является таким решением.
То есть если ,
, то корень уравнения
равен
.
Основной способ решения логарифмических уравнений - это потенцирование, в результате чего получаем обычное алгебраическое уравнение. Найденные корни необходимо проверить, так как возможны случаи появления посторонних корней.
При решении логарифмических уравнений и неравенств используйте свойства логарифмической функции. Для этого левую и правую части представляйте в виде логарифмов с одинаковыми основаниями. Необходимым шагом в решении является учёт области определения логарифмической функции.
Теорема: Уравнение , где
,
, равносильно системе:
состоящей из уравнения и двух неравенств.
(В этой системе можно опустить одно из неравенств, так как каждое из них вытекает из уравнения и другого неравенства).
Таким образом для решения уравнения при
,
нужно:
1) решить уравнение f (x) =g (x);
2) из найденных корней отобрать те, которые удовлетворяют неравенству f (x) >0 (или, то же самое, неравенству g (x) >0; обычно используют более простое из этих неравенств), а остальные корни отбросить, так как они являются для данного уравнения посторонними.
Итак, логарифмическим называется уравнение, содержащее неизвестную величину под знаком логарифма.
Выделяют следующие основные методы решения логарифмических уравнений:
На основании определения логарифма.
Так решаются уравнения вида .
Приведём пример такого уравнения и решим его.
Пример: Решить уравнение .
Решение: ОДЗ: .
По определению логарифма имеем: (по формуле
).
Отсюда:
Проверка: - верно.
- верно.
Ответ:
Метод потенцирования.
Суть метода заключается в следующем: с помощью формул уравнение привести к виду . Это уравнение (при
,
) равносильно системе
Сравнительный анализ стандартов среднего общего образования
по математике базового и профильного уровней
Сравнивая стандарты базового и профильного уровней, следует отметить, что различия содержания, обязательного минимума основных образовательных программ, обязательных умений учащихся обусловлены различием целей базового и профильного уровня обучения математике.
Цели изучения математики на базовом ...
Народное музыкальное искусство Челябинского Урала
Народное музыкальное искусство Челябинского Урала славится своими традициями.
Самобытный, своеобразный и исключительно яркий в художественном отношении пласт фольклора Челябинского Урала образует нагайбакская культурная автономия, где широкое бытование в данный период времени имеют хороводные, ка ...
Психолого-педагогическая характеристика развития познавательной
деятельности детей с нарушениями интеллекта
Умственная отсталость влечет за собой неравномерное изменение у ребенка различных сторон психической деятельности. Наблюдения и экспериментальные исследования дают материалы, позволяющие говорить о том, что одни психические процессы оказываются у него несформированными более резко, другие – остают ...