Роль и место движений в геометрии

Идея геометрических преобразований как основы геометрии установлена еще немецким математиком Феликсом Клейном на базе теории групп в «Эрлангенской программе» 1872 года. Этот документ свидетельствует о том, что понятие геометрического преобразования играет в геометрии основополагающую роль и может быть положено в основу самого определения геометрии как науки. Понятие преобразования тесно связано с фундаментальными понятиями функции и группы. Поэтому одной из основных идей реформы математического образования 1967 года была идея внедрения в школьный курс математики геометрических преобразований. Она диктуется и методическими соображениями: доказательство многих геометрических теорем, связанных с геометрическими преобразованиями, доступнее учащимся, чем дедуктивные выводы из аксиом. Многие задачи на построение и доказательство решаются более естественно и просто, исходя из идеи геометрических преобразований.

«Многие из существующих курсов планиметрии неудачны, прежде всего, потому, что отсутствуют понятные учителям и ученикам, цементирующие курс математические идеи. Ученики знакомятся с наборами теорем, а не их системам. Одна из таких «цементирующих идей» – геометрические преобразования».

В программе по геометрии сформулированы цели и задачи обучения этому предмету в средней школе, в соответствии с которыми основными из них являются:

1) систематическое изучение основных фактов геометрии, методов их получения и возможностей их применения;

2) развитие умений и навыков учащихся, обеспечивающих применение полученных знаний для изучения смежных дисциплин и в сфере производства;

3) развитие пространственного воображения и логического мышления учащихся.

Особая роль в решении этих задач отводится последовательному применению в школьном курсе геометрии наряду с другими традиционными методами идеи геометрических преобразований и формированию понятия геометрического преобразования.

Понятия являются одной из главных составляющих содержания любого предмета, в том числе и геометрии. Начиная изучать геометрию, учащиеся сразу же встречаются с понятием точки, линии, угла, а далее — с целой системой понятий, связанных с видами геометрических объектов (линий, углов, треугольников и др.). Задача обучения в общеобразовательной школе обеспечить полноценное усвоение вводимых понятий.

Понятие преобразования является одним из фундаментальных понятий в геометрии. Это обусловлено, во-первых, ведущей ролью практических операций в мышлении (согласно Ж. Пиаже, все мыслительные операции образуют структуру группы, подобную группе преобразований в геометрии). Во-вторых, с понятием преобразования связан «групповой подход» к геометрии, в соответствии с которым геометрия — это наука, занимающаяся изучением свойств фигур, являющихся инвариантами фундаментальной группы преобразований.

Логика в любом понятии различает объем и содержание. Под объемом понимают тот класс объектов, которые относятся к этому понятию, объединяются им. Так, в объем понятия «преобразование» входят преобразования всех известных групп независимо от их конкретных характеристик: движения, подобия, аффинные, проективные, топологические, гиперболические, эллиптические преобразования. Под содержанием понятий понимается та система существенных свойств, по которой происходит объединение данных объектов в единый класс. Содержание понятия «преобразование» составляют свойства: отображение пространства на себя (при котором каждая точка пространства переходит в некоторую точку этого же пространства); взаимнооднозначное (биективное) отображение.

В совокупности свойства, по которым объекты объединяются в один класс, называется необходимыми и достаточными признаками. Важно отметить, что отношение между этими признаками в разных понятиях разное. Различают понятия с конъюнктивной и дизъюнктивной связью признаков. В понятиях с конъюнктивной связью эти признаки дополняют друг друга, образуя вместе то содержание, по которому и объединяются объекты в единый класс. Так, у объектов, относящихся к понятию «преобразование плоскости», обязательно должны быть два выше указанных признака (отображение плоскости на себя и биективность отображения), по отдельности ни один из них не позволяет опознать объекты этого класса. Как уже говорилось, в логике понятия с такой связью называются конъюнктивными: признаки связаны союзом «и» (в случае преобразования отображение должно быть и взаимнооднозначным и отображением плоскости на себя).

Главные разделы

• Главная
• Методы обучения двигательным действиям
• Раннее обучение английскому языку
• Педагогика способностей
• Половое воспитание детей и подростков
• Я-концепция ребенка дошкольного возраста
• Коррекция гиперактивных детей
• Информация о педагогике