Геометрия – одна из наиболее древних математических наук, первые упоминания о которой можно найти в египетских папирусах (III тыс. до н.э.) и вавилонских клинописях.
Одним из важнейших обогащений геометрии стало создание теории геометрических преобразований и, в частности, движений (перемещений).
Движение и, в частности, наложение, было основным методом доказательства у Фалеса, а также играет существенную роль в «Началах» Евклида. Определение равенства фигур у Евклида основано на совмещении фигур. Евклид постоянно производит перенос отрезков с помощью циркуля, да и само описание прямых линий и окружностей производится с помощью движений. Например, Евклид определяет сферу как результат вращения полуокружности вокруг диаметра. Однако во всех случаях, когда Евклид может обойтись без движений, он так и поступает. Евклид не определяет движение и его виды.
Стремясь уточнить изложение геометрии у Евклида, Д. Гильберт в «Основаниях геометрии» (1899) отказался от самого понятия движения. Вместе с тем, существует вариант аксиоматики геометрии, предложенный Ф. Шуром, в которой гильбертовские аксиомы конгруэнтности заменены аксиомами движения.
Идея геометрических преобразований как основы геометрии выросла на базе теории групп. Впервые теорию групп применил к геометрии немецкий математик Ф. Клейн. В своей «Эрлангенской программе» (1872) он высказал идею построения геометрии на основе геометрических преобразований и определил геометрию как предмет, изучающий инварианты некоторой группы преобразований.
После публикации «Эрлангенской программы» Ф. Клейна реформисты постарались использовать идею геометрических преобразований при построении школьного курса геометрии. В учебниках геометрии идея движения находит свое отражение уже в XIX веке.
В Германии в 1882-1883 годах выходит «Учебник элементарной геометрии» Генрицы и Трейтлейна, в основу которого положена идея геометрического преобразования.
Наиболее полно геометрические преобразования представлены в учебнике А.Н. Глаголева «Элементарная геометрия» (1895). Автор вводит аксиому движения и при доказательстве ряда теорем пользуется наложением фигур. Наряду с симметрией в учебнике рассматривается параллельный перенос и вращение вокруг точки.
Использование геометрических преобразований при решении задач на построение находит широкое отражение в учебной литературе второй половины XIX века в книгах Ю. Петерсена «Методы и теории для решения геометрических задач на построение» (1866), И.И. Александрова «Методы решения геометрических задач на построение» (1883). Авторы дают характеристику каждому методу и иллюстрируют его на примере решения задач. В «Элементарной геометрии» Ж. Адамара (1898-1901) рассматриваются такие виды геометрических преобразований, как симметрия, поступательное перемещение, гомотетия и подобие, вращение, теория полюсов и другое. Однако геометрические преобразования не связываются с основным материалом курса.
Таким образом, геометрические преобразования присутствуют во многих учебниках XIX века, хотя применение они находят при незначительном числе доказательств и решении отдельных видов задач.
В начале XX века возрастает интерес к геометрическим преобразованиям и в русской школе. В учебнике «Элементарной геометрии» (1909) К.Н. Рашевский рассматривает такие виды геометрических преобразований, как симметрия относительно точки и прямой, параллельное перенесение, вращение около точки, гомотетия. Идея геометрических преобразований не охватывает весь курс геометрии. В «Геометрии пространства» Б.А. Марковича (1910) показывается применение движения при доказательстве теорем и построении курсов планиметрии и стереометрии. В 1911 году выходит работа Н.А. Извольского «Первые шаги курса геометрии», в которой автор при изучении материала пользуется наложением, вращением вокруг точки.
Методические рекомендации к изучению темы "Логарифмические
уравнения"
Цели: раскрыть понятие "логарифмическое уравнение"; ознакомить учащихся с основными приёмами и методами решения уравнений этого вида; обеспечить овладение всеми учащимися основными алгоритмическими приёмами решения логарифмических уравнений.
Урок 1 "Решение логарифмических уравнени ...
Закономерности психического развития детей дошкольного возраста
В дошкольном возрасте происходит интенсивное развитие всех познавательных процессов. Это относится и к сенсорному развитию.
Сенсорное развитие – это совершенствование ощущений, восприятий наглядных представлений. У детей снижаются пороги ощущений.
Повышается острота зрения и точность цветоразлич ...
Понятие как форма мышления
Понятие является одной из форм абстрактного мышления. Конкретные предметы и их свойства отражаются с помощью форм чувственного познания — ощущений, восприятий, представлений. Например, в данном апельсине мы ощущаем его свойства — круглый, оранжевый, сладкий, ароматный. Совокупность этих и других с ...