Математические основы изучения умножения и деления в начальной школе

Информация о педагогике » Формирование вычислительных навыков табличного умножения и деления в начальной школе » Математические основы изучения умножения и деления в начальной школе

Страница 1

Перед тем, как перейти к рассмотрению методики изучения табличных случаев умножения и деления в начальных классах, необходимо выявить математические основы изучения арифметических действий, установить их важнейшие законы и правила, также взаимосвязь их компонентов и результатов.

Рассмотрим сначала подход к определению произведения, в основе которого лежит понятие суммы.

«Произведением целых неотрицательных чисел а и b называется такое целое неотрицательное число, а * b, которое удовлетворяет следующим условиям:

1)а*b = а + а + . + а при b > 1;

b слагаемых.

2) а * 1 = а при b = 1;

3) а* 0 = 0 при b = 0.

Теоретико-множественный смысл этого определения сводится к следующему: «Если множества А1, А2 . АЬ имеют по а элементов каждое и никакие два из них не пересекаются, то их объединение содержит, а

* b элементов. Следовательно, произведении а * b — это число элементов в объединении b попарно не пересекающихся множеств, каждое из которых содержит по а элементов. Равенства а * 1 = а и а * 0 = 0 принимаются по условию».

Действие, при помощи которого находится произведение чисел а и b, называют умножением; числа, которые умножают, по тому же определению называют множителями.

В математике доказано, что произведение любых целых неотрицательных чисел существует, и оно единственно.

В начальных классах смысл умножения раскрывается при решении простых задач. Рассмотрим, например такую задачу: «На каждое детское пальто нужно пришить 4 пуговицы. Сколько пуговиц нужно пришить на 6 таких пальто?».

Данная задача решается умножением, так как здесь требуется найти число элементов в объединении, состоящем из 6 множеств, в каждом из которых по 4 элемента. Согласно определению это число находится умножением: 4 * 6 = 24 (пуговицы)

Рассмотрим также и другое определение произведения целых неотрицательных чисел, существующее в математике. Оно связано с декартовым произведением множеств.

Пусть даны два множества:

А = Ххб уб ябЪ и

В = Хтб еб кб ыЪю

Найдем их декартово произведение, исходя из математических законов. Запишем его в виде прямоугольной таблицы:

(x,n), (x,t), (x,r), (x,s),

(y,n), (y,t), (y,r), (y,s),

(z,n), (z,t), (z,r), (z,s).

В каждой строке таблицы все пары имеют одинаковую первую компоненту, а в каждом столбце одинаковая вторая компонента. При этом никакие две строки не имеют хотя бы одной одинаковой пары.

Отсюда следует, что число элементов в декартовом произведении А * В равно 3 + 3 + 3 + 3 = 12. С другой стороны, n(А) = 3, n(В) = 4 и 3 * 4 = 12. Видим, что число элементов А и В равно произведению n(А) * n(В)

Вообще если А и В - конечные множества, то: «произведение целых неотрицательных чисел а и b можно рассматривать как число элементов декартова произведения множеств А и В, где n (А) = а, n(В) = b:

а * b = n(А * В), где n(А) = а, n(В) = b

При изучении табличного умножения в начальных классах имеет место переместительный, или коммутативный, как обозначено в высшей математике, закон умножения:

«Для любых целых неотрицательных чисел а и Ь справедливо равенство:

а * b = b * а».

Докажем данный закон, исходя из определения произведения через декартово произведение множеств. Пусть а = n(А), b = n(В).Тогда по определению произведения, а * b = n(А * В). Но множества А * В и В * А равномощны: каждой паре (а, b)

из множества А * В можно поставить в соответствие пару (b, а) из множества В * А, и наоборот. Значит, n(А * В) = n(В * А), и поэтому

Страницы: 1 2 3


Другие статьи:

Обучение иноязычной речи в сотрудничестве с использованием проектной методики
Изучение языка не всегда продвигается так, как мы этого хотим. На промежуточном уровне может возникнуть момент, когда требуется дополнительный импульс, стимул для изучения иностранного языка. Таким стимулом вполне может стать проектная работа. Мотивация лежит в самом проекте. Ученику, наконец, пре ...

Традиционная система образования в Российской Федерации
Федеральные государственные образовательные стандарты - один из основных инструментов реализации конституционных гарантий права человека и гражданина на образование. Установление федеральных государственных образовательных стандартов представляет собой конституционную норму. В ст. 43 Конституции Р ...

Вид домашних упражнений направленных на развитие творческих качеств учащихся
1. Задачи на построение, решаемые любыми или указанными методами. Многие конструктивные задачи можно решить несколькими способами. Поэтому время от времени следует предлагать учащимся рассмотрению задачи снова решить произвольно выбранным из указанном методом. Эти упражнения могут иметь следующий ...

Главные разделы

Copyright © 2023 - All Rights Reserved - www.centrstar.ru