Математические основы изучения умножения и деления в начальной школе

Перед тем, как перейти к рассмотрению методики изучения табличных случаев умножения и деления в начальных классах, необходимо выявить математические основы изучения арифметических действий, установить их важнейшие законы и правила, также взаимосвязь их компонентов и результатов.

Рассмотрим сначала подход к определению произведения, в основе которого лежит понятие суммы.

«Произведением целых неотрицательных чисел а и b называется такое целое неотрицательное число, а * b, которое удовлетворяет следующим условиям:

1)а*b = а + а + . + а при b > 1;

b слагаемых.

2) а * 1 = а при b = 1;

3) а* 0 = 0 при b = 0.

Теоретико-множественный смысл этого определения сводится к следующему: «Если множества А1, А2 . АЬ имеют по а элементов каждое и никакие два из них не пересекаются, то их объединение содержит, а

* b элементов. Следовательно, произведении а * b — это число элементов в объединении b попарно не пересекающихся множеств, каждое из которых содержит по а элементов. Равенства а * 1 = а и а * 0 = 0 принимаются по условию».

Действие, при помощи которого находится произведение чисел а и b, называют умножением; числа, которые умножают, по тому же определению называют множителями.

В математике доказано, что произведение любых целых неотрицательных чисел существует, и оно единственно.

В начальных классах смысл умножения раскрывается при решении простых задач. Рассмотрим, например такую задачу: «На каждое детское пальто нужно пришить 4 пуговицы. Сколько пуговиц нужно пришить на 6 таких пальто?».

Данная задача решается умножением, так как здесь требуется найти число элементов в объединении, состоящем из 6 множеств, в каждом из которых по 4 элемента. Согласно определению это число находится умножением: 4 * 6 = 24 (пуговицы)

Рассмотрим также и другое определение произведения целых неотрицательных чисел, существующее в математике. Оно связано с декартовым произведением множеств.

Пусть даны два множества:

А = Ххб уб ябЪ и

В = Хтб еб кб ыЪю

Найдем их декартово произведение, исходя из математических законов. Запишем его в виде прямоугольной таблицы:

(x,n), (x,t), (x,r), (x,s),

(y,n), (y,t), (y,r), (y,s),

(z,n), (z,t), (z,r), (z,s).

В каждой строке таблицы все пары имеют одинаковую первую компоненту, а в каждом столбце одинаковая вторая компонента. При этом никакие две строки не имеют хотя бы одной одинаковой пары.

Отсюда следует, что число элементов в декартовом произведении А * В равно 3 + 3 + 3 + 3 = 12. С другой стороны, n(А) = 3, n(В) = 4 и 3 * 4 = 12. Видим, что число элементов А и В равно произведению n(А) * n(В)

Вообще если А и В - конечные множества, то: «произведение целых неотрицательных чисел а и b можно рассматривать как число элементов декартова произведения множеств А и В, где n (А) = а, n(В) = b:

а * b = n(А * В), где n(А) = а, n(В) = b

При изучении табличного умножения в начальных классах имеет место переместительный, или коммутативный, как обозначено в высшей математике, закон умножения:

«Для любых целых неотрицательных чисел а и Ь справедливо равенство:

а * b = b * а».

Докажем данный закон, исходя из определения произведения через декартово произведение множеств. Пусть а = n(А), b = n(В).Тогда по определению произведения, а * b = n(А * В). Но множества А * В и В * А равномощны: каждой паре (а, b)

из множества А * В можно поставить в соответствие пару (b, а) из множества В * А, и наоборот. Значит, n(А * В) = n(В * А), и поэтому

Главные разделы

• Главная
• Методы обучения двигательным действиям
• Раннее обучение английскому языку
• Педагогика способностей
• Половое воспитание детей и подростков
• Я-концепция ребенка дошкольного возраста
• Коррекция гиперактивных детей
• Информация о педагогике